Subjective / Written Questions (25)
1. Prove the Cauchy-Schwarz inequality in an inner product space and discuss equality. / inner product space में Cauchy-Schwarz inequality सिद्ध कर equality की शर्त बताइए।
2. Explain Gram-Schmidt orthonormalization and construct an orthonormal basis. / Gram-Schmidt orthonormalization समझाकर orthonormal basis बनाइए।
3. Prove Bessel's inequality and discuss orthogonal complements. / Bessel inequality सिद्ध कर orthogonal complement की चर्चा कीजिए।
4. Define adjoint of a linear transformation and characterize orthogonal and unitary transformations. / linear transformation का adjoint परिभाषित कर orthogonal तथा unitary transformations की विशेषता बताइए।
5. Discuss Hermitian, skew-Hermitian, symmetric and skew-symmetric matrices. / Hermitian, skew-Hermitian, symmetric तथा skew-symmetric matrices की चर्चा कीजिए।
6. Prove the Cayley-Hamilton theorem and explain its application. / Cayley-Hamilton प्रमेय सिद्ध कर इसका उपयोग समझाइए।
7. Discuss eigenvalues, eigenvectors, invariant subspaces and diagonalization. / eigenvalues, eigenvectors, invariant subspaces तथा diagonalization की चर्चा कीजिए।
8. Prove orthogonal/unitary reduction of real symmetric/Hermitian matrices. / real symmetric/Hermitian matrices के orthogonal/unitary reduction को सिद्ध कीजिए।
9. Define bilinear and quadratic forms and give their matrix representations. / bilinear तथा quadratic forms परिभाषित कर उनके matrix representations दीजिए।
10. State Sylvester's law of inertia and classify quadratic forms. / Sylvester law of inertia लिखकर quadratic forms का classification कीजिए।
11. Discuss convergence of improper integrals over infinite intervals. / अनंत अंतरालों पर improper integrals के अभिसरण की चर्चा कीजिए।
12. Prove comparison and μ-tests for improper integrals. / improper integrals के comparison तथा μ-tests सिद्ध कीजिए।
13. Explain absolute convergence and Abel's and Dirichlet's tests for integrals. / निरपेक्ष अभिसरण तथा integrals के Abel एवं Dirichlet tests समझाइए।
14. Define a metric space and explain open balls, interior, boundary, closure and accumulation points. / metric space परिभाषित कर open balls, interior, boundary, closure तथा accumulation points समझाइए।
15. Prove basic properties of open and closed sets in a metric space. / metric space में open तथा closed sets के मूल गुण सिद्ध कीजिए।
16. Define Cauchy sequence and completeness in a metric space with examples. / metric space में Cauchy sequence तथा completeness परिभाषित कर उदाहरण दीजिए।
17. Derive velocity and acceleration in Cartesian, polar and tangential-normal coordinates. / Cartesian, polar तथा tangential-normal coordinates में velocity और acceleration व्युत्पन्न कीजिए।
18. Derive the equation of motion for a particle under a given force in plane motion. / समतल गति में दिए गए बल के अधीन कण का गति समीकरण व्युत्पन्न कीजिए।
19. Analyze constrained motion in a vertical circle and derive the condition for complete revolution. / ऊर्ध्व वृत्त में constrained motion का विश्लेषण कर पूर्ण चक्कर की शर्त प्राप्त कीजिए।
20. Derive the differential equation of a particle under a central attractive force. / central attractive force के अधीन कण का अवकल समीकरण प्राप्त कीजिए।
21. Prove conservation of angular momentum and derive the areal velocity relation. / कोणीय संवेग संरक्षण सिद्ध कर areal velocity संबंध प्राप्त कीजिए।
22. Derive the energy equation for central force motion and discuss effective radial motion. / central force motion का energy equation व्युत्पन्न कर effective radial motion समझाइए।
23. State and derive Kepler's laws from central-force motion. / central-force motion से Kepler के नियम व्युत्पन्न कीजिए।
24. Derive the p-r equation of a particle under a central force. / central force के अधीन कण का p-r equation व्युत्पन्न कीजिए।
25. Classify curves and surfaces represented by second-degree equations. / द्वितीय घात समीकरणों से प्रदर्शित curves तथा surfaces का वर्गीकरण कीजिए।