Subjective / Written Questions (25)
1. Define a vector space and subspace and prove the subspace criterion. / सदिश समष्टि तथा उपसमष्टि परिभाषित कर उपसमष्टि की कसौटी सिद्ध कीजिए।
2. Prove that every linearly independent set can be extended to a basis of a finite-dimensional vector space. / सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक रैखिक स्वतंत्र समुच्चय को परिमित-विमीय सदिश समष्टि के आधार तक बढ़ाया जा सकता है।
3. Prove the Rank-Nullity Theorem for a linear transformation. / रैखिक रूपांतरण के लिए Rank-Nullity प्रमेय सिद्ध कीजिए।
4. Explain the matrix representation of a linear transformation and the effect of change of basis. / रैखिक रूपांतरण के matrix representation तथा basis change के प्रभाव को समझाइए।
5. Discuss equivalent and similar matrices and their invariants. / समतुल्य तथा समान matrices और उनके invariants की चर्चा कीजिए।
6. Reduce a matrix to normal form and explain an algorithm for finding its inverse. / matrix को normal form में घटाकर inverse ज्ञात करने की विधि समझाइए।
7. Define determinant and prove important properties of determinants and cofactors. / determinant परिभाषित कर उसके तथा cofactors के प्रमुख गुण सिद्ध कीजिए।
8. Discuss consistency of a system of linear equations using rank. / linear equations की consistency को rank की सहायता से समझाइए।
9. State and prove Cauchy's criterion for convergence of a series. / श्रृंखला के अभिसरण के लिए Cauchy कसौटी लिखकर सिद्ध कीजिए।
10. Prove the comparison, ratio and root tests for positive-term series. / धनात्मक पदों वाली श्रृंखलाओं के comparison, ratio तथा root tests सिद्ध कीजिए।
11. Explain Raabe's, logarithmic ratio and Cauchy's condensation tests with examples. / Raabe, logarithmic ratio तथा Cauchy condensation tests उदाहरण सहित समझाइए।
12. State and prove Abel's and Dirichlet's tests for general series. / सामान्य श्रृंखलाओं के लिए Abel तथा Dirichlet tests लिखकर सिद्ध कीजिए।
13. Discuss absolute and conditional convergence and rearrangement of series. / निरपेक्ष एवं सशर्त अभिसरण तथा श्रृंखला के rearrangement की चर्चा कीजिए।
14. Explain Riemann's theorem on rearrangement of conditionally convergent series. / सशर्त अभिसारी श्रृंखलाओं के rearrangement पर Riemann प्रमेय समझाइए।
15. Define convolution/Cauchy product and state Mertens' theorem. / convolution/Cauchy product परिभाषित कर Mertens theorem लिखिए।
16. Define upper and lower integrals and state Riemann's criterion of integrability. / upper तथा lower integrals परिभाषित कर Riemann integrability की कसौटी लिखिए।
17. Prove basic properties of the Riemann integral. / Riemann समाकल के मूल गुण सिद्ध कीजिए।
18. State and prove the Mean Value Theorem for integrals. / समाकलों के माध्य मान प्रमेय को लिखकर सिद्ध कीजिए।
19. Prove the Fundamental Theorem of Integral Calculus. / समाकल कलन का मौलिक प्रमेय सिद्ध कीजिए।
20. Explain differentiation of functions defined by integrals and change of variables. / समाकल से परिभाषित फलनों का differentiation तथा change of variables समझाइए।
21. State and apply the Integral Test for positive series. / धनात्मक श्रृंखलाओं के लिए Integral Test लिखकर लागू कीजिए।
22. Define common catenary and derive its standard equation. / common catenary परिभाषित कर उसका मानक समीकरण व्युत्पन्न कीजिए।
23. Derive the principle of virtual work and discuss stability of equilibrium. / virtual work का सिद्धांत व्युत्पन्न कर equilibrium की stability की चर्चा कीजिए।
24. Derive the differential equation and solution of simple harmonic motion, including an elastic string. / simple harmonic motion तथा elastic string के लिए अवकल समीकरण और हल प्राप्त कीजिए।
25. Discuss motion under inverse-square law, resisting media and variable mass. / inverse-square law, resisting medium तथा variable mass के अधीन गति की चर्चा कीजिए।