Subjective / Written Questions (25)
1. Derive the polar equation of a parabola, ellipse and hyperbola when the focus is the pole. / नाभि को ध्रुव मानकर परवलय, दीर्घवृत्त तथा अतिपरवलय के ध्रुवीय समीकरण व्युत्पन्न कीजिए।
2. Derive the polar equation of the chord joining two points of a conic and obtain the tangent as a limiting case. / शंकु के दो बिंदुओं को जोड़ने वाली जीवा का ध्रुवीय समीकरण तथा सीमांत स्थिति में स्पर्शरेखा प्राप्त कीजिए।
3. Derive the equations of the normal, polar and chord of contact of a conic. / शंकु की अभिलम्ब, ध्रुव तथा संपर्क जीवा के समीकरण व्युत्पन्न कीजिए।
4. Explain the pair of tangents, asymptotes, director circle and auxiliary circle of a conic. / शंकु की युग्म स्पर्शरेखाएँ, asymptotes, निदेशक वृत्त तथा सहायक वृत्त समझाइए।
5. Explain ruled surfaces and derive the two families of generators of a hyperboloid of one sheet. / ruled surfaces समझाकर एक-पत्रीय अतिपरवलयज की दो जनक परिवारों के समीकरण प्राप्त कीजिए।
6. Discuss the generators of a hyperbolic paraboloid and their properties. / अतिपरवलयी परवलयज की जनक रेखाओं तथा उनके गुणों की चर्चा कीजिए।
7. Obtain standard equations of central conicoids and paraboloids. / केंद्रीय शंक्वाभों तथा परवलयजों के मानक समीकरण प्राप्त कीजिए।
8. Derive tangent lines, tangent planes, polar planes and polar lines of central conicoids. / केंद्रीय शंक्वाभों की स्पर्श रेखाएँ, स्पर्शी तल, ध्रुवीय तल तथा ध्रुवीय रेखाएँ प्राप्त कीजिए।
9. Explain enveloping cones and cylinders and sections with a given centre. / enveloping cones एवं cylinders तथा दिए गए केंद्र से sections समझाइए।
10. Derive the diametral planes of central conicoids and paraboloids. / केंद्रीय शंक्वाभों एवं परवलयजों के व्यासीय तल व्युत्पन्न कीजिए।
11. Define functional limit at a limit point and prove its sequential characterization. / सीमा-बिंदु पर फलन की सीमा परिभाषित कर अनुक्रमीय अभिलक्षण सिद्ध कीजिए।
12. Prove the algebra of limits and discuss one-sided limits. / सीमाओं के बीजगणितीय नियम सिद्ध कर एकपक्षीय सीमाओं की चर्चा कीजिए।
13. Prove that a continuous function on a closed interval is bounded and attains its extreme values. / सिद्ध कीजिए कि बंद अंतराल पर सतत फलन परिबद्ध होता है और अपने चरम मान प्राप्त करता है।
14. State and prove Rolle's theorem. / Rolle प्रमेय लिखकर सिद्ध कीजिए।
15. State and prove Lagrange's Mean Value Theorem. / Lagrange माध्य मान प्रमेय लिखकर सिद्ध कीजिए।
16. State and prove Cauchy's Mean Value Theorem. / Cauchy माध्य मान प्रमेय लिखकर सिद्ध कीजिए।
17. Derive Taylor's theorem with Lagrange remainder and obtain a Maclaurin expansion. / Lagrange शेषफल सहित Taylor प्रमेय व्युत्पन्न कर Maclaurin प्रसार प्राप्त कीजिए।
18. Discuss maxima and minima using first and second derivative tests. / प्रथम तथा द्वितीय अवकलज परीक्षण से अधिकतम और न्यूनतम की चर्चा कीजिए।
19. Explain L'Hospital's rule and apply it to indeterminate forms. / L'Hospital नियम समझाकर अनिर्धार्य रूपों पर लागू कीजिए।
20. Define convexity, concavity and point of inflexion and relate them to derivatives. / उत्तलता, अवतलता तथा वक्रता-विलोम बिंदु परिभाषित कर अवकलजों से संबंध बताइए।
21. State Darboux's theorem and discuss its significance for derivatives. / Darboux प्रमेय लिखकर अवकलजों के लिए इसका महत्व बताइए।
22. Solve a second-order non-homogeneous linear differential equation by undetermined coefficients. / अनिश्चित गुणांकों की विधि से द्वितीय कोटि असमघात रैखिक अवकल समीकरण हल कीजिए।
23. Solve a linear differential equation by variation of parameters. / नियतांकों के परिवर्तन की विधि से रैखिक अवकल समीकरण हल कीजिए।
24. Solve an Euler-Cauchy equation by a suitable substitution. / उपयुक्त प्रतिस्थापन से Euler-Cauchy समीकरण हल कीजिए।
25. Derive gradient, divergence and curl in Cartesian coordinates and state their geometric meanings. / कार्तीय निर्देशांकों में gradient, divergence तथा curl व्युत्पन्न कर उनके ज्यामितीय अर्थ बताइए।