Subjective / Written Questions (25)
1. Derive the normal form of a plane and obtain the perpendicular distance of a point from it. / तल का अभिलम्ब रूप व्युत्पन्न कर किसी बिंदु से तल की लम्ब दूरी प्राप्त कीजिए।
2. Derive the equation of a plane through three non-collinear points. / तीन असंरेखीय बिंदुओं से गुजरने वाले तल का समीकरण व्युत्पन्न कीजिए।
3. Derive the shortest distance between two skew lines and state the coplanarity condition. / दो विषम रेखाओं की न्यूनतम दूरी तथा समतलीयता की शर्त व्युत्पन्न कीजिए।
4. Derive the equations of the bisector planes of two intersecting planes. / दो प्रतिच्छेदी तलों के समद्विभाजक तलों के समीकरण प्राप्त कीजिए।
5. Derive the equation of a sphere through a given circle and explain its radical plane. / दिए गए वृत्त से गुजरने वाले गोले का समीकरण तथा मूलक तल समझाइए।
6. Derive the tangent and polar planes of a sphere. / गोले के स्पर्शी तथा ध्रुवीय तलों के समीकरण व्युत्पन्न कीजिए।
7. Prove the condition for orthogonal intersection of two spheres and discuss coaxial spheres. / दो गोलों के लंबवत प्रतिच्छेदन की शर्त सिद्ध कर सह-अक्षीय गोलों की चर्चा कीजिए।
8. Explain reciprocal cones and derive the equation of a right circular cone. / व्युत्क्रम शंकु समझाइए तथा समवृत्तीय शंकु का समीकरण प्राप्त कीजिए।
9. Discuss the section of a cone by a plane through its vertex. / शीर्ष से गुजरने वाले तल द्वारा शंकु के प्रतिच्छेद की चर्चा कीजिए।
10. Prove logical equivalences involving implication, negation, conjunction and disjunction. / निहितार्थ, निषेध, संयोजन तथा विकल्प की तार्किक तुल्यताएँ सिद्ध कीजिए।
11. Explain quantifiers and prove rules for negating quantified statements. / परिमाणकों को समझाकर परिमाणित कथनों के निषेध के नियम सिद्ध कीजिए।
12. Define equivalence relation and prove that it induces a partition. / तुल्यता संबंध परिभाषित कर सिद्ध कीजिए कि यह विभाजन उत्पन्न करता है।
13. Prove the Well Ordering Principle and relate it to induction. / सुव्यवस्थित सिद्धांत सिद्ध कर इसे गणितीय आगमन से संबंधित कीजिए।
14. Prove the Archimedean property and density of rational numbers in R. / आर्किमिडीय गुण तथा R में परिमेय संख्याओं की सघनता सिद्ध कीजिए।
15. State and prove the division algorithm in Z and explain Euclidean algorithm. / Z में विभाजन एल्गोरिथ्म सिद्ध कर यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म समझाइए।
16. Explain the Fundamental Theorem of Arithmetic and prove irrationality of a suitable surd. / अंकगणित का मौलिक प्रमेय समझाकर किसी करणी की अपरिमेयता सिद्ध कीजिए।
17. Define convergence of a real sequence and prove uniqueness of its limit. / वास्तविक अनुक्रम का अभिसरण परिभाषित कर सीमा की एकात्मकता सिद्ध कीजिए।
18. Prove the algebra of limits for convergent sequences. / अभिसारी अनुक्रमों के लिए सीमा के बीजगणितीय नियम सिद्ध कीजिए।
19. Prove every convergent sequence is bounded and discuss the converse. / प्रत्येक अभिसारी अनुक्रम परिबद्ध है सिद्ध कर विलोम की चर्चा कीजिए।
20. State and apply the monotone convergence theorem. / एकदिश अभिसरण प्रमेय लिखकर किसी उपयुक्त अनुक्रम पर लागू कीजिए।
21. Define a Cauchy sequence and prove every convergent real sequence is Cauchy. / कॉशी अनुक्रम परिभाषित कर सिद्ध कीजिए कि हर अभिसारी वास्तविक अनुक्रम कॉशी है।
22. Solve a first-order exact differential equation and find an integrating factor when needed. / प्रथम कोटि exact अवकल समीकरण हल कर आवश्यक समाकलन गुणक ज्ञात कीजिए।
23. Solve a Clairaut equation and distinguish general and singular solutions. / Clairaut समीकरण हल कर सामान्य तथा विलक्षण हलों में अंतर कीजिए।
24. Solve a second-order homogeneous linear ODE with constant coefficients for distinct, repeated and complex roots. / स्थिर गुणांकों वाले द्वितीय कोटि समघात ODE को भिन्न, समान तथा सम्मिश्र मूलों के लिए हल कीजिए।
25. Explain orthogonal trajectories and their differential-equation method. / लंबवत प्रक्षेप वक्र तथा उन्हें ज्ञात करने की अवकल समीकरण विधि समझाइए।